关键词：无定向、旋转、缩放

　　前言：

　　现在城市建设飞速发展，尤其象上海这样的国际化大都市，高楼大厦向雨后春笋一样冒出，这可能使的原有的控制点变的不再通视，这样就没有了推算各导线边方位角所必须的定向角，无法进行导线计算。本论文就是介绍一种当两控制点无法通视时的计算方法。

　　1、  单一无定向角导线的闭合条件

　　单一无定向角导线的实质就是，两端均未观测定向角的单一附和导线，如图1

 

　　对于有n-1个待定点的单一无定向角导线，其必要观测值为2（n-1）个，而观测值为n+(n-1)个，即n条边和n-1个导线角，故多余观测的个数为n+(n-1)-2(n-1)=1个。由于未测定向角，故这个多余观测条件为长度闭合条件。

　　2、  计算思路

　　3、  无定向角导线近似平差的计算公式

　　如图1所示，A、B为已知点，其坐标为xA、Ya，xB、yB，固定边AB的边长和方位角为DAB和αAB；导线角、导线边的观测值和平差值分别为βi、Di和β´i、D´i；待定导线点坐标的计算值和平差值分别为xi、yi和xi´、yi´。

　　如果令起始边A1的假定方位角为αA1，则根据导线角的观测值βi即可推求各导线边方位角的计算值，进而计算各导线边坐标增量的计算值；对各导线边坐标增量计算求其和，即得固定边AB的坐标增量计算Δx´AB、Δy´AB。据此，可计算出固定边的边长计算值D´AB、和方位角计算值α´AB。

若令导线的旋转角和缩放比为vα和Q，则有：

　　DA1/D´A1= DA2/D´A2=……DAB/D´AB=Q                   (1)

　　α´A1－αA1=α´A2－αA2=……α´AB－αAB=vα               (2)

　　由于Δx´Ai=x´i－xA=D´Ai·cosα´Ai；Δy´Ai=y´i－yA=D´Ai·sinα´Ai；顾及到（1）和（2）有：

　　Δx´Ai= Q·DAi·cos(αAi+ vα)

　　　      = Q·DAi·(cosαAi·cos vα－ sinαAi ·sin vα)

　　Δy´Ai= Q·DAi·sin(αAi+ vα)

 　　　     = Q·DAi·(sinαAi·cos vα+ cosαAi ·sin vα)

　　再令Q1= Q·cos vα；Q2= Q·sin vα，并顾及到ΔxAi= DAi ·cosαAi；ΔyAi= DAi ·sinαAi，则有：

　　Δx´Ai= Q1·ΔxAi－Q2·ΔyAi                                  (3-1)

　　Δy´Ai= Q1·ΔyAi+Q2·ΔxAi                                   (3-2)

　　作为（3-1）（3-2）的特例则有：

　　ΔxºAB= Q1·ΔxAB－Q2·ΔyAB                               

　　ΔyºAB= Q1·ΔyAB+Q2·ΔxAB                                  

　　在上式中，ΔxºAB、ΔyºAB为已知值，ΔxAB、ΔyAB可由假定起始方位αAB和导线角与导线边观测值βi、Dij计算而得，因而可由此解出Q1、Q2，即：

　　Q1＝（ΔxAB·ΔxºAB＋ΔyAB·ΔyºAB）／

　　　　（（ΔxAB）²+（ΔyAB）²）                        （4-1）

　　Q2＝（ΔxAB·ΔyºAB＋ΔyAB·ΔxºAB）／

　　　　（（ΔxAB）²+（ΔyAB）²）                         (4-2)

　　将由式（4-1）（4-2）计算而得的Q1、Q2代入式（3-1）（3-2），可得按各待定导线点坐标计算值xi、yi计算其平差值的公式，即：

　　x´i＝xA＋Q1（xi－xＡ）－Q２（yi－yＡ）                       (5-1)

　　y´i＝yA＋Q1（yi－yＡ）+Q２（xi－xＡ）                         (5-2)

4、  无定向角导线计算应用实例

图2为上海地铁M8线管线测量布设的无定向角导线，导线的起始数据见下表：

点号	X m	Y m	坐标方位角 º."	边长 m
T815	1978.814	-371.917
T813	3842.578	962.054

该单一无定向角导线平差计算表

点 名	观测角值 º ´ "	观测 边长 m	假定坐标方位角 º´"	假定坐标增量		假定坐标		坐标平差值
				Δx m	Δy m	X m	Y m	x´ m	y´ m
T815						1978.814	-371.917
		210.823	51 15 25	131.939 161.749	164.434 37.985
D1	141 57 32					2110.753 2272.502	-207.483 -169.498	2160.887	-265.378
		166.149	13 12 57	282.806 175.029	-9.401 46.237
D2	164 52 49					2555.308 2730.336	-178.899 -132.662	2325.637	-287.674
		282.962	358 05 46	163.923 138.849	47.617 1.692
D3	196 42 06					2894.259 3033.108	-85.045 -83.352	2586.598	-397.518
		181.033	14 47 52	-5.313 161.319	113.659 -12.846
D4	181 24 00					3027.796 3189.115	30.306 17.461	2766.709	-416.847
		170.699	16 11 52	54.600 129.964	225.794 285.423
D5	164 30 02					3243.715 3373.679	243.255 528.678	2936.933	-430.918
		138.859	0 41 54	102.739 47.678	147.871 166.103
D6	271 58 40					3476.418 3524.096	676.549 842.652	3067.311	-478.951
		113.783	92 40 34	169.256 -450.833	304.485 391.355
D7	82 46 16					3693.352 3242.519	1147.137 1538.492	3102.960	-370.823
		161.830	355 26 50	131.939 161.749	164.434 37.985
D8	260 57 32					2110.753 2272.502	-207.483 -169.498	3249.145	-440.475
		232.302	76 24 22	282.806 175.029	-9.401 46.237
D9	169 06 44					2555.308 2730.336	-178.899 -132.662	3380.860	-248.949
		313.619	65 31 06	163.923 138.849	47.617 1.692
D10	169 41 26					2894.259 3033.108	-85.045 -83.352	3604.322	-28.624
		180.059	55 12 32	-5.313 161.319	113.659 -12.846
D11	198 46 32					3027.796 3189.115	30.306 17.461	3753.185	72.870
		172.810	73 59 04	54.600 129.964	225.794 285.423
D12	166 56 49					3243.715 3373.679	243.255 528.678	3857.101	211.078
		348.366	60 55 53	102.739 47.678	147.871 166.103
D13	258 06 30					3476.418 3524.096	676.549 842.652	4124.098	435.180
		597.000	139 02 23	169.256 -450.833	304.485 391.355
T813						3693.352	1147.137	3842.578	962.054
				-450.833	391.355

Q1=0.93463694；Q2=-0.357336303。

采用以上无定向角导线的平差计算方法解决了两已知点的不通视问题。