关键词：习惯、信心、成就、希望

从乡下的中学来到城市上大学后，室友们都建议进入房间要脱鞋，以保持房间的卫生。为此，我们每人都平均分配了一周拖地的任务，大家都并极其乐意地干着。因要脱鞋入房，懒散惯了的我感到很不习惯。起初，每次忘了此规定，被室友提醒后便及时把踏入房间的脚退了回来。一段时间后，进房脱鞋成了习惯，就像清晨刷牙洗脸，晚上脱衣睡觉一般。后来，每次当我回到自己的家的时候，家里跟学校完全不一样，也没有学校那么干净。但是每次地板一脏，我就把地板拖得干干净净，爸妈回来都感觉不习惯，突然间发现我变得这么爱清洁，他们也很高兴。每次进房我都会习惯性地脱下鞋子。后来，爸妈看到我这样，他们也把鞋都脱了进房间。如此想来，习惯一旦形成也是不容易改的。
　　读初中的时候，我的数学成绩很糟糕。为此，自己也很自卑，一度丧失了信心，几次欲退学回家。一次，数学老师要在班上选拔三名学生参加全市的奥林匹克数学竞赛，选拔考试结束后，数学老师没有公布分数，只向全班宣布了代表学校参加竞赛的三个学生的名单，我也是其中一个。这次入选，很让我感到意外。在以后的强化训练中，我信心倍增，把全部的时间和精力都投入到这次训练中。三个月的训练后，我在竞赛中得了第二名，获得了全校惟一的奖项。成绩出来后，学校的老师和学生都很惊讶，只有那位数学老师会心地笑着。前段时间，我回母校又碰到了那位老师。闲聊时，他谈起了那次选拔考试，并告诉我那次选拔考试的分数依然是最后几名，之所以选我是为了帮我树立信心。信心是成功的一半，只要拥有坚强的信心，就离成功不远。
　　在我的书桌上摆放着一个“不倒翁”玩具，看书闲暇片刻，我喜欢摇晃“不倒翁”然后看它慢慢立起。很多次，我试着把它推倒，可不管我怎么努力，总是无功而返。为使自己的这种“阴谋”得逞，我开始探寻“不倒翁”不倒的密秘。“不倒翁”的底部是球形的，与桌面接触的点只有一个，把它推倒后，经过短时间的摇摆又回到了最初的位置。于是，我得出结论，“不倒翁”不倒的原因有三：一是它对人很和善，没有私藏棱角和针刺，对任何人都是坦荡的胸杯；二是“不倒翁”占有的桌面面积很小，不管桌面面积有多大，它都不贪，不占，恪守最初的位置；三是“不倒翁”很正直，不管摇摆的幅度有多大，堂堂正正做人是他一生最寻的目标。所以我们做人也要向不倒翁学习学习。
　　读高中时的班主任是我们的物理老师。一次上物理课，班主任把一堆物品和一个很大的塑料瓶子放在讲台上。这些物品中有一块与瓶子底部形状相同的木块、一些棱角分明极不规则的细小木块、一碗清水和一堆细沙子。班主任告诉我们，这堆物品的体积和这只大瓶子的容积是相等的，要我们设法把这些物品全部装进大瓶子里。这个实验，很多同学试后都没有成功，并认为这几乎是不可能会成功的实验。见没有同学上台挑战，班主任自己动手做了起来。他先把与瓶子底部形状相同的木块放了进去，后放入细小的不规则的木块，然后托起瓶子摇晃均匀，接着倒入细沙子，摇晃一阵后又倒入清水。如此做下来，讲台上堆放的物品全部装进了大塑料瓶子里，见此奇迹我们都鼓起了掌声。实验做完后，班主任语重心长地告诉我们，这既是一次物理实验，也是一次关于人生的实验。在我们生活中，会面临许许多多的事情，这些事情就像这些大小不同，属性不同的物品。只有先把重要的且必然立即完成的事情做完后，我们才好去做那些细小的事情，那些软性的事情。这是我们生活中的一条很重要的规则，掌握了这条规则，明白了这个道理，我们才不会被理不清的思绪所累，被繁琐的事情缠身，我们才会充实每一天，装满人生的空瓶子，使人生不留空白，不留遗憾。
    一次，与朋友去登四川的娥眉山。登至山腰，我们累得两腿酸痛，筋疲力尽。坐在山腰的一块石头上，望着仍然遥不可及的山顶，我来时的信念已经动摇，便嚷着打道回府。朋友不依，说美景还在上面，要领略山上美丽的景色，必然要经历登山的过程。在朋友的鼓励下，我终于登上了金顶，面对山顶美丽的景色，我们尽情欢呼起来，全然忘记了登山的艰辛。此时，我很庆辛自己没有半途而废，没有为此次登山留下遗憾。获取和付出一直是对等的，不经历登山的艰辛就没有山头美景的馈赠，不到达这个高度就没有在这个高度上的视野和收获，没有春天里的耕种就没有金色秋天里忙于采摘压枝硕果的笑脸。

一、        设置问题情境，引发探究兴趣

    爱因斯坦说过，源于兴趣的动力是无穷的。问题则是激发学生兴趣的心理动力。思维经常从问题开始，它是激发学生求知欲，引起学习兴趣的内在动力。问题不管在学习中还是在生活中，都能引起学生的兴趣。下面是我在与学生学习“圆和圆的位置关系”引入时设计的问题：

问题1  我们生活在丰富多彩的图形世界里，圆与圆组成的图形更是我们生活中常见的画面。例如，自行车的两个轮子、奥运会的会标、美丽的双鱼图、天体中的“日环食”照片等，都反映了圆与圆的画面。请问你在生活中还见到过这样的例子吗？

    本设计展现生活中圆与圆组成的图形，并由学生举出实际例子，丰富学生对客观世界中两个圆之间有着多种不同的位置关系的感知，为学生自主探索提供可能。经尝试，学生反应活跃，有的说摩托车的前后轮子，有的说煤气炉的两个孔，有的说某某小汽车的标志图案，有的说音箱中的几个喇叭口，有的说钟表的内外框……，应有尽有。兴趣随即在活跃的气氛中被提起来了。

二、        指引探究思路，明确探究方向

    学生在探究问题时的思维方向往往带有盲目性和随意性，这时教师要有意识地进行启发和指导，把学生的思路引到正确的方向上来，使之更有效地、合理地思考问题、分析问题和解决问题。在讲上述的“圆和圆的位置关系”时我不失时机地向学生作如下引导：今天我们要研究的问题，是在同一个平面内两个圆的位置关系。

三、        运用不同方法  主动探究因果

在探究过程中，运用不同方法，通过不同渠道，创设活动意境让学生尽量从多角度考虑问题，可以培养学生的创新思维能力。接着提出下面的问题：

问题2  由于圆与圆大小异同的多种不同位置，构成了多姿多彩的画面。你知道两个圆有几种不同的位置关系吗？请你模仿直线与圆的位置关系，根据公共点多少的情况画一画看。

    这里不直接给出两圆的五种位置关系，而先让学生画一画，实质上是创设活动意境，让学生按公共点的个数把两圆的位置关系分类，从而描述两圆相离、相交、相切的位置关系。有利于各类学生主动参与教学活动，从而获得不同色彩的“知识”。

问题3  请你拿出两个半径分别为6cm和4cm 的圆形纸片（课前备好的），将大纸片（⊙O₁）固定不变，小纸片（⊙O₂）从⊙O₁的外部逐渐向⊙O₁移动，观察这个运动过程，现在你对问题2有没有新的看法？

学生通常不能正确地画出两圆所有不同的位置关系，设计这个问题让学生进一步感知两圆的各种位置关系，并从中体会运动的方法有助于全面观察、正确归纳两圆的五种位置关系。

问题4  试一试，你能不能讲出两圆共有几种位置关系？

设计让学生运用语言来表述数学知识，训练学生的概括和表达能力，增进对数学知识的理解。最后让学生阅读课本两圆位置关系定义，通过比较和对照得到综合的规律。这样学生对两圆位置关系的印象将更深刻。

四、 数形有机结合  概括探究规律

我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的。把数与形有机地结合起来，可使问题显得更清晰。于是向学生提出下面的问题：

问题5  （1）观察纸片⊙O₂在向⊙O₁移动的过程中，除两圆位置关系发出了变化，还有什么现象发生？两圆心的距离会发生变化吗？

（2）量一量纸片⊙O₁、⊙O₂在各种位置关系下的圆心距，你发现纸片⊙O₂在向⊙O₁移动的各种情况，所量得的圆心距与两圆半径的和或者差有没有内在的联系？

设计这个问题的实质是让学生感知图形的“位置关系”与“数量关系”常常是互相联系的，从而得到在两圆各种位置关系中，两圆半径与圆心距之间的数量关系。

问题6  画外离的两圆，把其中一个圆的半径逐渐变大，这时又有什么现象发生？这些现象之间有相互的联系吗？

通过这个问题的探究，让学生进一步感知图形的位置关系与数量关系互相依赖，从数量关系刻画出位置关系的一种简明的符号语言，并得到两圆五种位置关系的判定和性质。最后再让学生结合课本中的内容，把探究结果综合，使知识系统化。

五、及时定向测练   巩固探究成果

    有了探究成果，再经过学生的实际应用操作，可以使学生对知识掌握得更好，印象更深刻。在课堂知识的巩固时，我布置了相应的练习，让学生应用所掌握的知识解决一些具体问题，经了解效果很好。

    探究性学习活动由于让学生直接参与探索，在教学中强调学生动眼、动手、动口、动脑，重视学生之间的交流与合作，通过外在的行为活动促进学生内在思维活动的发展，是培养学生创新思维的一种重要途径，对迎合当前的教改潮流，推进素质教育大有帮助。

一、   分层教学的内涵

    所谓分层目标教学，其主体是以班级集体教学为主，小组教学、个别辅导互相兼顾的教学形式，是因材施教原则在课堂教学中的具体表现。分层教学是通过把全班学生按知识基础和认知水平分为几个层次，然后根据各层次学生的情况设计授课内容和目标进行教学。分层教学的指导思想是把传统的应试教育转变为素质教育。素质教育的核心是创新教育，创新教育的重点是发展学生的创新思维。实施分层教学对培养学生的创新思维有着直接的联系。实施分层教学，要创设良好的教学环境，重要的是要优化师生关系，使课堂中有一个师生真诚友好的学习环境，民主的教风与学风，使学生有一个积极健康的心理素质；教师要真正了解学生心理，尊重学生个性，并在学生中树立自己的威望。分层是把学生知识基础和认知水平的分层，不是人格的分层。要向差生表明分层教学的目的在于让不同成绩的学生最大限度地发挥自己的潜能，不同层次的学生都能在原有的基础上得到进一步的开拓，使他们心理平衡，互相帮助，形成一个团结友爱、积极向上的班集体。

二、   分层教学的模式

1、按认知水平分组教学

    如何分层，是分层教学中的一个重要环节。笔者在新学年的于始，先对学生的知识基础进行摸底，并深入调查学生的个性特征、心理倾向、认知能力，掌握学生“学习的实际可行性”；然后结合学生的意愿，让学生根据自己的实际情况，选择自己应属的类别；最后根据实际情况核定，把特征相近的学生归类为同一层次，将全班学生分为A、B、C三组。A组是基础较差、学习有困难的学生，B组是基础一般、成绩中等的学生，C组是基础好、反应快、成绩拔尖的学生；A、B、C三组学生的比例依次为2：6：2。与此同时，积极做好必要的思想工作和心理疏导，特别是消除差生的自悲心理，让全部学生心情舒畅地按照自己相应的层次投入课堂中学习。还要注意到每个学生都有发展的潜能，要以发展的观点看学生，经过一个阶段的学习后，随着学生学习成绩的变化，作相应的调整，最终达到A组逐步解体，B、C组不断壮大的目的。

2、课堂教学层次化

    分层教学在课堂教学中具体表现是根据学生的实际情况，实施教学目标分层，教学过程分层，课堂练习分层，课外作业分层，教学评价分层。

（1）    教学目标分层

    教学目标主要以教学大纲为主要依据，并根据学生的认知能力、教材的知识结构，合理地确定各个层次学生的教学目标，并将各个层次的目标贯串于教学过程的每一个环节。每堂课制定出三个层次的目标，A组学生达到达纲目标，B组学生达到提高目标，C组学生达到或基本达到高层目标。

（2）    教学过程分层

    由于教学手段大致相同，教材统一，进度统一，只有教学要求不同，因此教学过程分层主要体现在每堂课既面向全体解决共性问题，又因材施教面向局部解决个性问题。特别是课堂提问、课堂练习要体现分层的技巧，按学生的认知层次选择提问内容和练习内容。并重视学生“最近发展区”的开发，让他们“跳一跳，摘桃子”。每堂课的教学过程大致按下面几个程序进行：

    ①导入目标：上课开始时，利用2—5道题对本堂课需预备的相关知识进行复习或检测，以便判断学情，创设意境，以旧探新，引出课题，从而激发学生的求知欲。

    ②展示目标：讲解新课前，向学生简要地展示各层次的教学目标，使各组学生心中有数。带着明确的目标，有目的地听课，从而提高每堂课的学习效率。

    ③冲刺目标：这个过程很重要，一堂课最终能否使各层学生顺利达标主要看这一环节。首先，教师要针对目标备好课，根据本节内容的要点和学生认知水平，以目标为导向，有的放矢。一方面精心设计课件，按学生情况设计问题，使各组问题有着密切的联系，使知识由浅入深，由单一到综合运用，形成一个小高潮。另一个方面，每组问题围绕中心知识点设计低、中、高三个档次，使几个小问题之间分出层次，拉开档次，并使问题与问题之间，题组与题组之间环环密扣，步步高升，形成一个有机的知识链。其次，在教学过程中，教师要面向全体，兼顾局部，做到精讲精导，点拨恰到好处，引导学生向目标奋进。同时教师可有针对性地对小部分学生进行个别辅导，解决集体教学时未能解决的问题。

    ④检测目标：检测是课堂结束前的反馈测试，测试题目一般为各层次2—3题，当堂检测学生的达标情况。它可以较客观地检测学生是否达标，反馈信息，及时对学生的知识缺陷进行有针对性的补救和矫正。

    ⑤小结目标：对全体学生简要地进行内容、方法、规律的小结，使学生对整课目标有一个完整的理念。

   （3）课堂提问和练习分层

    课堂提问，对于不同层次的学生要从不同的角度去设计问题，问题可按三层布局，易、中、难有度。让学生作答时按层次“对号入座”，让不同层次的学生都能体会成功的喜悦。为了巩固新知识，落实不同层次的教学目标，应分层提供课堂练习，让所有学生通过努力都能掌握知识，发展技能。课堂练习可分为两个层次：达标性练习和提高性练习。达标性练习三个组的学生全做，提高性练习鼓励C组学生全做，B组学生选做。题目的安排要遵循由浅到深、由易到难的原则，提高性练习不宜过多。配制的练习要有利于A组学生巩固基础知识，也要有利于B组学生有所提高，还要有利于C组学生的充分发挥，这样可使各个层次的学生在课堂上学有所乐，学有所得，教学效率得以提高。

（4）课后作业分层

    作业结合大纲要求和按各层次学生的情况配置，作业要适量，将基础题、中档题、较难题分别配给A、B、C三组学生做。并鼓励学生跨层作业，从解题中体会成功的乐趣。作业分层，还可避免抄袭作业等消极现象，真正调动学生独立思考的积极性，达到人人动手、个个用脑的目的。

   （5）教学评价分层

    为了了解学生在分层教学过程中异步达标的情况，就要对学生进行分层评价，由于各个层次的教学目标不同，故达标的要求应有差别，测验须以因材施教，因人施考为原则。不同层次的学生考不同的题目，使A、B、C三个层次的学生通过努力都能取得好成绩，他们付出的劳动得到及时的回报，享受成功的喜悦，增加学习的自信心，从而激发他们学好数学并向纵深发展的兴趣。命题时可将一份试题分为Ⅰ卷、Ⅱ卷和附加题三部分，Ⅰ卷为基础题，让全部学生完成，Ⅱ卷为层次题，要求学生按层次完成，附加题为综合应用题，让部分B组的学生和C组的学生选做，附加题作为奖励另外加分。命题时也可同卷同考不同目标，如A组学生要求达到60分以上，B组学生达到75分以上，C组学生达到90分以上。批改时为了鼓励和培养学生的创新思维，采用“模糊”的教学方法，对别具一格或有创新思维的答卷，即使做错了也适当给分表示奖励。为了激励学生不断向上，每次对单元测验成绩有进步的学生要及时表扬。评价要以鼓励为主。对尚未达标的学生，要帮助其找差距，找原因，树信心，切莫在班中点名批评，伤其自尊。

    另外，经过一段时间后，要根据学生的测试成绩和平时表现，进行合理的调整。把好的学生往上推，使其享受成功的喜悦，更加增强自信心；把明显变差的学生适当降级，并做好其思想工作，实施补救措施，使其重燃希望之光。

三、分层教学的启示

    经过笔者近两三年来的努力，通过对实施素质教育的尝试，一方面，体会到实施分层教学作为教师是辛苦的，需要精力和汗水，需要教师辛勤的劳动和奉献精神。另一方面，出于对党和人民教育事业的忠诚，是值得的，分层教学是可行的。实践证明，分层教学取得了较好的效果。在笔者的努力下，这几年市统考，试验班学生的数学成绩比其他常规班学生的数学成绩有较大的增长点，平均分、及格率、优秀率均高十几个百分点；在参加市级以上的数学竞赛中，分别有多人获奖。

一种涉及面如此广泛的社会现象出现，必然有诸多的因素，但其中有一条无庸置疑：很多教师在与学生沟通方面存在一定障碍。由于对新时期中学生的心理状况不够了解，他们的教学安排往往不能顺利实施，目标很难实现，学生也会有抵触抱怨的情绪。要改变这种状况，还须溯源而上，从根本出发，摸准中学生的“脾气秉性”，本着“一切为了学生”的原则，采取相应的手段和措施，“想其所想，急其所急”，使学生逐渐对教师和学校产生认同感，进而更好地融入教学活动本身。

曾经有一位心理学家说过：教育要使学生产生心理认同感。诚如斯言，在我们身处的这个日新月异的年代，一切都在以惊人的速度在更新。即便是成年人，也不免会受一些现象和风气的影响而短暂地产生迷惘感，不能很好地处理工作和生活中发生的一些事情。中学生正处于身体和心理迅速成长时期，他们的心理素质虽然也在不断加强，但相比较而言还是比较羸弱的，很难经受一些不良习气的影响。他们的内心世界虽然丰富多彩，但是如果不加以正确的指导，也很可能陷入心理“陷阱”，处理不好学习与生活的关系，不能和别人正常相处，从而耽误学习和成长。作为教师，我们有责任也有义务，随时掌握学生的心理变化情况，并视情况进行有针对性的劝导，帮助他们正确处理好成长中必然面临的一些问题，健康地步入今后的生活。在需要教师所做的工作当中，切中学生的“心”脉，并通过有效的手段使学生产生认同感是关键中的关键，也是关系到教学活动能否取得良好效果的重要环节。

处于人生中朝气蓬勃阶段的中学生，其较为突出的心理特点主要有以下几点：

一、对师长有“逆反”心理，表现为不愿意服从安排和管理，自我表现欲望强，希望彰显个性，突出个体存在。

中学生正处在各方面都迅速成长的时期，然而虽然其生理上的各项指标都已经十分接近成年人的水平，但心理却不是很成熟，心理状况很不稳定。由于身体发育日趋成熟，他们从心理上非常渴望独立，希望能以“成年人”的姿态面对师长们。因此，如果教师以传统的“灌输”方式教育他们，就会激发起逆反心理，使得教学活动不能取得预期目标。这就需要教师耐心发掘学生的心理需求，选择学生可以接受而又有教育意义的方式方法，循循善诱地开展教学活动。

学生X很喜欢穿白色衣服，但是学校规定学生在校期间必须穿校服。因为不爱穿校服，X经常与老师发生摩擦，老师们也感到很头痛。在一个大雪纷飞的冬日， X又穿着自己的白衣服来上学，满以为又要挨老师批评。可是，一天过去了，老师并没有理她。放学的时候，老师叫住她说：“X，放学回家注意安全。你看路上全是白的，你又穿白衣服。司机在路上很难看清你，如果再加上疲劳驾驶，多危险呀。今天街上的人大部分都穿红的、黄的。这也是为了安全呀。”一番充满温情的话语，让她备受感动。第二天，X就换上了校服。并且，自那以后不管是否下雪，她都按照学校的规定穿校服。其实，X也不是非常讨厌穿校服，只是在青春期叛逆心理的作用下，很自然地选择了和老师对立。当老师采取了温和亲切的方法时，她自然就乐于服从学校的规定了。我们的有些教师，往往在教学过程中因为过于急躁，不够耐心，激起学生的逆反心理，从而事倍功半。上面例子中的这位老师通过说明一个细节，即雪天穿鲜艳颜色衣服可以起到保障安全的作用，使学生自然地接受了其中的教育意义。这说明，每名教师在面对学生时，都要根据中学生的心理特点，耐心寻找合适的教育手法，从而达到自己的目的。

二、希望得到教师在内的成年人认可，自尊心强，敏感而容易受伤害。

中学生普遍希望获取成年人的认可，表现为喜欢以“自我意识”为中心，不愿意接受别人的观点。因此，他们自尊心很强，只要教师说话做事的方法稍微有点不对头，就会触动他们年轻的神经，引发他们的内心波动。这就要求教师们改变过去长期以来形成的教学习惯，站在平等的高度上，尊重学生的人格、爱好，不动辄对其进行批评教训。美国心理学家詹姆斯有句名言：“人性最深刻的原则就是希望别人对自己加以赏识”。对于中学生而言，所谓赏识就是对他们给予肯定，通过心理暗示，不断培养他们的自尊心和自信心，从而使其不仅有勇于进取的信心，也能有不断进取的动力。众所周知，人的尊重都是相互的。师爱生，则生敬师。只要教师能从平等的视角看待学生，平和理性地对待他们的所作所为，尊重他们的爱好和选择，就会使得学生感受到自己的人格受到了尊重，体验到自我价值获得认可的快乐，必然会积极配合教师的安排，从而形成良好的教学氛围。

三、承受很大压力，情绪容易波动。

现在的中学生都承受着很重的压力，因为心理发育还不够成熟，年少的他们很容易产生焦躁不安、迷茫失落甚至绝望的情绪。我们所在的时代，是激烈竞争的时代。高校扩招使得大学毕业生越来越多，就业也越来越困难。家长们对子女的心理预期也水涨船高。以前本科毕业也可以接受，现在不读研究生、出国留学就不安心。家长们的殷切期望、身边同学的刻苦情景、社会上的诸多言论都增加了学生身上的压力。仍显稚嫩的他们，长期处于神经高度紧张、心理极度不安的情绪中。一旦有突发事件或意外情况，就很容易崩溃，进而发生让人扼腕叹息的事件。因此，为了避免给学生进一步加压，教师要学会合理布置作业，尽量减轻学生的负担，通过提高效率来保证教学质量。我所在学校的老师很多都惟恐学生们成绩不好，总喜欢把课程排得满满的。学生周末也不能放松，还要上各种补习班。他们认为，大量的练习才能让学生把基础打牢，从而提高学习成绩。但结果却恰恰相反，学生的成绩并没有明显提高，家长们也不是很满意。为什么会出现这种情况？问题的关键是，他们给学生安排的学习时间太长，学生根本接受不了，他们太累了，很多人上课的时候就累得睡着了。这样的情况下，又怎么能提高成绩？事实证明，如果盲目地为了追求学习成绩，不合理地安排休息、娱乐时间，其结果通常是不但成绩没有提高，学生也疲惫不堪，难以更好地投入以后的教学活动中去。这就要求教师们要掌握好“度”，合理安排教学计划，既要给学生以充分指导，又要给他们放松的时间。在教学效率上、质量上而不是时间上、强度上下功夫。

四、世界观尚未成型，容易盲从。

中学生的世界观、人生观还没有成型，很容易被流行的或相对强势的人和事影响。比如去年风靡全国的“超级女声”节目，其目标对象就是以中学生为主的年轻人群。虽然节目本身并没有深刻的意义，但是因为迎合了年轻人的心理而大获成功，很多学生甚至逃课报名，场面着实火爆。但是当“超女”风渐弱的时候，很多学生就开始后悔了，为自己的疯狂举动脸红。事实上，很多人开始并不喜欢这个节目，只是因为大家都喜欢，自己也跟着喜欢并且痴迷了。在学生的眼中，教师是一个很独特的角色。作为他们生活中最熟悉的几个人之一，教师一方面是他们试图超越、反抗的目标，一方面又是他们暗中学习和模仿的对象。优秀老师更是能吸引学生的注意力。这就要求教师们注意自己的“公众形象”，慎言慎行，从衣着、言行等各个方面严格要求自己，确保不会因为自己随意的行为致使学生因模仿而犯错。

    总而言之，在中学教学活动中，了解熟悉学生的心理行为，随时掌握他们的心理变化情况，并做出相应的教学调整，采用学生们乐于接受的方式方法进行教育，逐渐使学生对学校和教师产生认同感，是开展好教学活动的必要条件之一。教师要不断探索在心理因素在教学中的重要作用，因势利导，以学生为中心，不断创新工作方法，提高自身水平，从而满足社会的需要，为国家的教育事业作贡献。

　　阿基米德由此发现了浮力定理，从而解决了王冠的检验问题。

　　在我国古代，也流传一个利用浮力原理的“曹冲称象”的故事。曹操的儿子曹冲小时候非常聪明。一天，有人送给曹操一只大象，曹操很高兴，想知道这个庞然大物究竟有多重。但是到哪里去找这样大的秤呢？魏国的谋臣武士们绞尽脑汁，也想不出一个办法。小小的曹冲却想出了一个妙法：他教人把大象牵到一只大木船上，刻下木船的吃水深度；然后把大象牵下船而向船上装进一些石块，让木船吃水深度与原来的刻度一致时即停止继续装石块。根据浮力原理，大象的重量和船上石块的重量相等，而分散的石块是可以用普通的秤称出其重量的。“曹冲称象”成为千古美谈。

　　“曹冲称象”的思想不仅仅是利用了物理学中的浮力原理，也利用了数学中一个极为普遍的思想：转化思想。即把有待解决的问题，通过适当的方法，转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题。

　　从某种意义上讲，数学证明或数学计算中的每一步都是一种转化，转化思想是数学中最基本、最重要的一种思想。可以毫不夸张地说。转化能力的高低是衡量一个人数学水平的重要标志之一。

　　匈牙利数学家罗莎曾经对此作过一个有趣的比喻：

　　假如在你面前有煤气灶、水壶、水笼头和火柴，现在要烧一壶开水，你应该怎样做？

　　回答很简单，谁都知道应该怎样做。在水壶中加满水；点燃煤气；把水壶放到煤气灶上。

　　接着罗莎再提出问题：现在所有的条件都和原来一样，只是水壶中已灌满了水，这时你又应该怎样做？对于这一问题人们通常的回答往往是：那就只要点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上就可以了。但罗莎指出，这不是最好的回答，因为只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，因为他已经把后一问题转化为前一个问题了，而前一问题是已经解决了的。

　　罗莎的比喻也许过于夸张，但它的确表明了数学思想方法的一个特点，善于使用转化的方法。

　　在18世纪，东普鲁士哥尼斯堡（今属立陶宛共和国）内有一条大河，河中有两个小岛。全城被大河分割成四块陆地。河上架有七座桥，把四块陆地像图1那样联系起来。当时许多市民都在思索如下的问题：一个散步者能否从某一陆地出发，不重复地经过每座桥一次，最后回到原来的出发地。

　　这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。

　　这个问题似乎不难解决，所以吸引了许多人都想来试试看，但是日复一日谁也没有得出确定的答案。于是有人便写信给当时著名的数学家欧拉（Euler，1707 ～1783）求教。欧拉毕竟是数学家，他并没有去重复人们已多次失败了的试验，而是首先产生了一种直觉的猜想：许多人千百次的失败，也许意味着这样的走法根本就不存在。于是欧拉把七桥问题进行了数学的抽象．用A、B、C、D四个点表示四块陆地，用两点间的一条线表示联接两块陆地之间的一座桥，就得到如图2那样一个由四个点和七条线组成的图形。

　　于是，七桥问题就转化为一个象图2那样的图形是否可以“一笔画”的问题。什么叫“一笔画”呢？那就是笔不准离开纸，一气画成整个图形，但每一条线只许画一次，不得重复。像图2这样的图形能不能一笔画呢？1736年欧拉证明了：答案是否定的。

　　为什么呢？

　　因为除了起点和终点之外，我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话，对于每一个中间点来说，当画笔沿某条线到达这一点时，必定要沿另一条线离开这点，并且进入这点几次，就要离开这点几次，一进一出，两两配对，所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此，一个图形能否一笔画就有了一个判别准则：

　　一个可以一笔画的图形最多只能有两个点（起点和终点）与奇数条线相连。

　　再看图2中的四个点都是与奇数条（三条或五条）线相连的，根据这一判别准则，是不能一笔画的。

　　从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。

　　曾经难倒许多人的七桥问题，经过欧拉这一转化，就像哥伦布竖鸡蛋一样，简单而圆满地解决了。

　　相信大家都学过一些概率统计，而且都会觉得这个人的逻辑很可笑．但如果要说明这个逻辑可笑在哪里，毛病出在什么地方，没有一定程度的概率统计知识还不一定说得清楚．概率统计大概要算是应用最广的一门学科了．在学校不管是文科，理科还是经济，医学都要学它．不过，它当初的产生可是与这些应用科学没有任何关系，纯粹是一些人为了解决赌博中遇到的问题而产生出来的．我当初读书的时候，所有的学科都要带上一顶红帽子，都要有革命意义．什么几何的产生是为了劳动人民测量田地，三角的产生是为了劳动人民看月亮星星之类的．只有概率统计没有办法与劳动人民沾边．按照革命理论，劳动人民应该是从不赌博的．按成份划分，概率统计的出身是很差的．概率论虽然产生于赌场，但赌场里的人并不需要懂概率．他们很多人都是凭经验，凭感觉．据说概率论的老祖之一卡当曾经到赌场去找一个老赌徒，说是掷骰子的时候，如果给他两种情况，一种是连续两次掷出六点，另一种是三次掷出的数的总和小于或等于五．问他愿意选哪一种？老赌徒想都没想就说愿意选后面这一种．仔细用概率算一下，你会发现这两种情况的概率差别还不到百分之一的一半．可见这些人的感觉相当准确．

　　当然，真正的赌场并不完全依赖于概率组合．否则，在家里算好概率再去赌场赌岂不是有赢无输．说起来还真有人在家里研究好赌法去赌场赌的．有一种叫做赌注加倍法的赌法就是由统计学家发明的．从理论上来讲，用这种方法到赌场去玩二十一点必赢无疑．这种方法从道理上来说很简单，只要你有足够的资本，那就必赢无输，而且想赢多少就赢多少．比如说你第一盘下注一百元（也可以是一千元或一万元，首注多少与这种赌法无关）．如果这一盘赢了，则把赢的一百元装腰包，再继续下注一百元．如果输了，第二盘下注两百元．如果这次赢了，那么扣除上盘输掉的一百元，还赢利一百元．把赢的这一百元装腰包，又从下注一百元开始．如果输了，下一盘就下注四百元，如此下去……简单说起来就是，如果某一盘输了，则下一盘赌注加倍．如果赢了，这一回合就算结束，又从下注一百元开始．用这种玩法，只要你不是一直输（当Ｎ很大时，连续输Ｎ盘的可能性几乎是零），那么每一个回合结束后，你都会赢利一百元．这种玩法是可以从统计学上证明的必胜玩法．你或许会问，这种玩法如果真有效，那大家都这样玩，赌场岂不是只好关门了．这一点你可以放心，办赌场的人自然也知道这种玩法对他们是致命的，他们当然不会坐以待毙．所以他们有专门规定来控制这种玩法．其中一条规定是规定赌注的上限．也就是说每一盘的赌注不可以超过这个上限．这样一来，赌注加倍法就不灵了．因为当你连输许多盘准备加倍赌注的时候，你的赌注或许已经超过该上限，你不能再按加倍赌法玩下去，于是前面输掉的再也不能按加倍法捞回来．有了这种规定，赌场就可以不用担心所谓赌注加倍法．在上限以内，这种方法你还是可以用的，但是不能保证绝对赢．再说，即使在上限以内，要玩这种加倍法还是需要一些勇气的．如果你从一百元开始，连输十盘后，赌注就已经涨到十万元．连输十盘的可能性很小，但还没有小到不太可能发生．这时候要下这十万元的一注还是需要一点魄力的．

　　许多问题并不是单纯的组合问题，还要考虑一些其它的因素．比如打桥牌时决定是否要飞张的时候，并不能只考虑大牌分布的概率因素，还要考虑叫牌过程等等．这就是所谓条件概率．现实生活中的问题就更复杂了，许多时候它所依赖的条件并不能准确的用数学表达出来，而只能是凭经验，凭感觉或别的计算．比如天上的云的情况与明天是否下雨，这两者之间有很强的统计规律，甚至有很多农谚因此而产生．但真正要预报天气却不能靠这些农谚，还得要做大量的非概率运算．

　　现实生活中完全纯概率组合的问题也是有的，比如说买彩票，也就是通常说的“乐透奖”．有一种通行的“乐透奖”是从一到四十四中选六个数，如果全部选对则可中大奖．这是一个纯组合的问题，没有任何别的因素．中奖的概率很容易算出来，大约七百万分之一．这个概率小得可怜，据说下雨天上街被雷击的概率也比这个数大．懂概率的人大约都不会去上这个当．偶尔买一次图新鲜好玩没有关系，常年累月地买就有点愚蠢了．不过，愚蠢的人还真不少，否则这种奖也存在不下去了．我以前不相信，最近看了一篇报导才知道真有不少人每周固定买彩票的．我们这里附近有一个镇有六万人口，每年的“乐透奖”开销竟然有二千七百万美元之多．也就是说平均每人每年花四百多块买彩票，差不多每周花十块钱，简直有点不可思议．这些钱有相当一部分是要被政府收走的．所以我常对朋友讲，“乐透奖”是政府收的另外一种税，其名字叫“愚人税”．聪明人是不用交这种税的．

数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中，数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势，它是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。从初中阶段就重视数学思想方法的渗透，将为学生后续学习打下坚实的基础，会使学生终生受益。

一、初中数学教学应渗透的思想方法

1、分类讨论思想

分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
　　例如，教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”，这个定义揭示了实数的内涵与外延，这本身就体现出分类思想方法。因此，在学完实数的概念后，可以如此分类：

尔后一提到实数，就会想到它可能是有理数，也可能是无理数；一提到有理数，就会想到它可能是整数，也可能是分数等。

又如，实数的绝对值定义也是采用分类法给出的，在这个定义中选择 a = 0作为分类的标准。在每一类中，其结果都不包含绝对值符号。因此定义也给出了脱去绝对值符号的一种方法。

再如，在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。为了验证这个猜想，教学时常将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，这时可能出现三种情况：⑴折痕是圆周角的一条边，⑵折痕在圆周角的内部，⑶折痕在圆周角的外部。验证时，要分三种情形来说明，这里实际上也体现了分类讨论的思想方法。

还有，对三角形全等识别方法的探索，教材中的思考题：如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？同时，教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出，教学时要让学生体验这种思想方法。

2、数形结合思想

一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。
　　初一教材引入数轴，就为数形结合的思想奠定了基础。有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合，能使学生的思维得到锻炼。

数形结合在各年级中都得到充分的利用。例如，点与圆的位置关系，可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定，直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定，圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。又如，勾股定理结论的论证、函数的图象与函数的性质、利用图象求二元一次方程组的近似解、用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。再如，有理数的加法法则、乘法法则，不等式组的解集的确定都是利用数轴或其它实图归纳总结出来的；实践与探索中行程问题教学，经常是利用线段图解的方法来引导学生分析题中的数量关系。
　　在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。

3、整体思想 
    整体思想在初中教材中体现突出，如在实数运算中,常把数字与前面的“＋，－”符号看成一个整体进行处理；又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等；再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如：（a+b+c)²= [（a+b）+ c ]²视(a+b)为一个整体展开等等，这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。

4、化归思想

化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。如已知（x+y)²=11 , xy=1 求 x² + y² 的值,显然直接代入无法求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)²-2xy，则易得: 原式=9；又如 “多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决,这都是化归思想在实际问题中的具体体现。再如解方程（组）通过“消元”、“降次”最后求出方程（组）的解等也体现了化归思想；

化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的,其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。如在加法的基础上，利用相反数的概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到了代数和的概念；在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出除法法则，使互逆的两种运算得到统一。又如，对等腰梯形有关性质的探索，除了教材中利用轴对称方法外，还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法，把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。
　　除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答……

5、变换思想

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换，几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题,但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。

例  四边形ABCD中,　AB = CD,　BC = DA,　E、F是AC上的两点,　且AE = CF. 求证: DE=BF.

这道题若是由已知向后推理较难把握方向，但用变换方法寻找证法比较易：要证DE = BF，只要证△ADE≌△CBF（证△ABFE≌△CDE也可）；要证△ADE≌△CBF，因题目已知BC = DA，AE = CF，只要证∠DAE=∠BCF；要证∠DAE=∠BCF，可由△ABC≌△CDA得到，而由已知条件AB = CD,　BC = DA,  AE = CF不难得到△ABC≌△CDA。这样问题就解决了。

6、方程思想

方程思想的实质就是数学建模,解应用题是方程思想应用的最突出体现。

例  某工人每天早晨在同一时刻从家里骑车去工厂上班，如果以每小时16千米的速度行驶，则可在上班时刻前15分钟到达工厂；如果以每小时 千米的速度行驶，则在工厂上班时刻后15分钟到达工厂。

①      求这位工人的家到工厂的路程；

②       这位工人每天早晨在工厂上班时刻前多少小时从家里出发？

这道题若通过构建方程求解, 能很易求出答案。

略解:①设这位工人的家到工厂的路程为x，则可得 ，解得x =12（千米/小时）；

 ②这位工人每天早晨在工厂上班时刻前 或  = 1 小时从家里出发。

又如  甲乙两人同时从A地出发，步行15千米到B地，乙比甲每小时少走1千米，结果比甲迟到 小时，求甲、乙两人的速度。

这道题若通过构建方程求解, 也不难求出答案。

略解：设甲每小时走x千米，则乙每小时走（x－1）千米，依题意得

    解得  x₁ = 6 ,   x₂ =－5

 经检验x = 6 ,  x₂ =－5 都是原方程的根，但x₂ =－5不合题意，舍去；

由x = 6得x－1=5；于是甲每小时走6千米，乙每小时走5千米。

7、比较思想所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。比较是一切理解和思维的基础，随着学习的不断深入，学生要掌握越来越多的知识，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。
　　例如，在因式分解的教学中，通过复习整式乘法，让学生比较这两种运算的异同，明确因式分解与整式乘法是恒等变形，又是互逆运算。如（a+b)(a-b) = a²－b² 是整式乘法，a²－b² =（a+b)(a-b)是因式